资 源 简 介
NSGA-II的中文翻译，研究多目标优化算法的可以看一下，入门论文之一！非支配排序遗传算法。非支配排序遗传算法已获得解的集合中保持很好的扩展性也是所需要的。括进来,上述算法的计算复杂度为原型使用了著名的共享画数方法,这种方法已经被证在集合I中所有种群成员都被指定了一个距离度量,我们明在相夭参数设定合理的情况下能够在种群中找到很奷的多就能够对比两亼解与其它解的接近程度。一个拥有更小的距样性。共享函数的方法包括一个共享参数它用来设离庋量值的解,在一定程度上,会被其它解挤到。这就是下置一个问题中要求的共享程度。这个参数与被选择计算两个面描述中我们在拥挤比较算子中所比较的。虽然图展示了种群成员的接近程度的距离度量标准相关。这个参数σ两个目标的拥挤距离的比较,但是这个方法同样适用于多于表明在任意两个解间最大的距离测度会共享它们的适应度两个目标的情况。值。这个参数通常归用户来设置,即使在文献中冇一些指)拥挤比较算子:拥挤比较算子在算法的不冋阶段将选导方法,但是共享函数方法仍存在两个难点择的过栏导向均匀分布的最优前活面。假设种群中每)共享函数方法在维持解的传播性能上过分依赖于一个体有两个属性值的选择。)非支配排名)拥挤系数现在我们定义一个偏序一如下如果或并且Cuboid就是说,在两个有不同非支配排名解中,我们更喜欢拥有更低(更好〕排名的解。否则如果两个解属于同一前沿面,那幺我们更喜欢处于相对不太拥挤区域的解。介绍了一这三个创新点——快速非支配排序程序,快速拥挤系数估计程序以及苘单的拥挤比较算子,接下来我们准图拥挤距离计算。实心点代表同一非支配前沿面的解各开始描述算法。主循环)由于每个解必须与种群中其它所有解比较,共亨函数方法的总体复杂度为最初随杌创建父代和群。种群根据非支配情况排序。享画数方法,它在一定程度上排除了以上两个点。这个新等级,次之,依次类)的适应度值(或者排名)。就这样,方法不需要任何用户定义维持种群多样性的参数。同时,所假设了适应度的最小值。首先,常用的二进制锦标赛机制选提出的方法有更好的复杂度。为了描述这种方法,我们定义择,重组以及变异算子被用来生成大小为的子代种群了密度估计准则并展示了拥挤比较算子。由于精荚是诵过比较当前种群和先前找到的最优非支配解而密度估计:为了得到种群中特定解周围的解的密度估引进的,所以这个过猩在初始代是不同的。我们首先在页底计,我们根据每一目标画数计算这点两侧的两个点的平均距描述了所提出算法的第代。离。这个数值作为以最近邻居作为顶点的长方体周长的佔计步接一步的程序说明算法是简单直接的(称为拥挤系数)。在图中,第个解在它所在前沿面的拥首先,合成种群∪的形成。科群大小为。然后挤系数是它周围长方体的长度(如虛线糕所示)。种群根据非支配度排序。由于先前和当前种群都在中,则拥挤系数的计算需要根据毎一目标函数值的大小的廾庐精英也就峭定了。现在属于最优非支配集合的解是合成种顺序对种群进行排序。因此,对每一目标函数,边界解(拥群中最优的解,并且相对合成种群中的其它解要更加重视它有最大和最小值的解〕被指定为无穷大距离的值。所有其它们。如果的大小比小,我们就明硝的将集合所有成员中间的解都被指定为等于两个相邻解的函数值归一化厉的绝归为新种群中。种群剩余的成员可以在后来按排名井对差值。计算方法对其它目标凶数也是这样。全部拥挤系数序的的非支配前沿面选择。因此,接下来中的解被迭择出值足通过个体每一目标的距离值的加和计算得到的。每一目来,然后是中的解,依次进行。这个过程一直持续到没有标函效在计算拥挤系数前都会进过归一化处理。在页底展示更多的集合可以被供应。例如是最后的非支配前沿面,再的算法概括了非攴配集合I中所有解拥挤系数的计算过程后来就没有其它集合可以被供应。亨实上,在到所有集这里,1代表集合中第个个体的第个目标函数值,合解的数目会比种群的大小要大。要选择出刚好个种群成程的复杂度主要有排序算法占据。由亍有次独立的排序,列并且选择最好釣姐来填充全部种群釣空。。参数和是第个目标函数的最大和最小值。这个过员,我们通过拥挤比较算子将最后前沿而中的解接降序排的步每次最多有个解(当多有种群成员都在一个前沿面中)包骤同样如图所示。大小为的新种群现在被用来进行远择crowding-distance-assignment(T)7=number of solutions in Ifor each i, setI-idistance =0initialize distancefor cach objcctive m了(x,m)sort using each objective valueIlI]distance=distale=Xso that boundary points are always selectedfor all other points工[ distance=2 i]distance+(+1]m-工-]m)/(f一f交叉和变异操作从而产生新的大小为的种群。特别需要注意的是我们使闬了二进制锦标赛选择操作怛是如今的选择标算法整体上的复杂度为其中非支配排序占据准是基于拥挤比较算子<。由于这个算子需要种群中解的排了主导地位。如果执行仔细得当,大小为完整种群不需要名以及拥挤系数,我们在建立新种群后会计算这些属性在根据非支配情况排序。只要排序过程已经找到在前沿面中值,具体算法如上所示。足够多的解,那么就没有理由继续执行排序操作。)考虑整个算法一次迭代的计算复杂度。主要操作以及最非攴配解的多样性通过使用拥挤比较程序维持,它被应坏情况下的复杂度如下所示用于竞标赛选择以及神群减少阶段。由于解是通过它们的拥)非支配排序挤系数一种对解的周围邻居密度的测量值,不需要额外的小)拥挤系数指定生境系数(例如算法中的σ)。即使拥挤系数是在)上的排序日标函数空间计算的,如果需要的话它同样可以应用于参数空间。然而在所冇本次研究的模拟中,我们使用的是目标函a tedr。 wing五gdistance数空间小生境rting模拟伤真结果本章节中,我们首先描述了用来比较以及性能的澳试问题。至于我们依据原始研究来确定参数设置。至于,我们选择了一组合理值的集合但是并没有试图找到最佳的参数设置。我们将+Rejected这个任务留作后续研究测试问题首先我们描述用来比较个汇总的测试问题。测步骤试问题是从这个领域过去有重要意义研究中挑出来的表1本次研究中用到的测试问题Problen「nObjectiveOptimal Commentsnds! functionssolutionsSCH∈[0,2onvexFON4(=-(-2x(-)I1OIlCOIivex力2(x)=1-xp(-∑=1∈[-1/3,1/V3POLr可(x)=[1+(41-B1)2+(A2-B2(refer [1)f2(x)=[(x1+3)2+(x2+1)2disconnectedA1=0.5sin1-2cos1÷sin2-1.5A2= 1.5 sin 1-cos 1+2 sin 2-0.5 cos 2B1=0.sin 21-2 cos 21+ sin [2 -1.5B, =1.5 sin -COs41+ 20.5 cOS C2KUR-5,55(x)(-108(-02=2+a+)(refer [1)nonconvexf2(x)8+5ZDT10,1手1(x)convexf2(x)=9(x)r1/90.g{x)=1+9(∑=2)/(m-1)ZDT2f1(x)1∈[01nonconvex)|1-(x1/9(x)0、x)=1+9(∑2x)/(n-1)i=2ZDT3 300,1]|f(x)x1∈0.1convexf2(x)-9(x)/9(x)-mx0(x)=1+91=2x1)/(n∠110x1∈[,1]5(x)=J1∈[0,1nonconvex55],f2(x)=9(x)1-√x1/9(x)0.9(x)=1+10(7-1)+∑乙2[m2-10cs(x:)ZDT610f1(x)=1-cxp(-4x1)sin5(6丌11∈[0,1nonconvEx./2(x)=9(x)1-(1(x)y(x)nonuniformlyg(x)-1+9|∑,-2x;)/2.所有的目标函数都是求最小化。ExtremesclutionfaAEuclideanObtainedsolutionsPareto-optimal 4FErontCh。senb七 aineds1ut⊥onsEt〓eme图3距离度量标准丫图4多样性度量标准△引用了一些过去被使用过的測试闷题。在他们会计算距离从占优前沿面挑选出的集合中解的最小之中,我们选择了四个问趣勺研究欢氏距离。这些距离的屮均值作为第一个度量标准丫(收敛的斫究的研究性标准)。图展示了这个庋量值得计算过程。阴影区域是可以及研究年,第一次有作行解搜索区域,实曲线制定了占优解。带开口圆圈的者提出了一种为多目标优化问题开发测试问题的系统方法解是在前沿面挑选出用来汁算收敛指标的解。黑色根据这些指导方针并提岀了六个测议问圆圖代表算法得到的解。这个度量值越小,越牧敛于题。我们选择这六个问题其中五个并称之为占优前沿面。当所有的解刚好在选择的解上,这个度量值以及。所有这些问题都有两个目标函数。的值为零。在这里运行的所有仿真,我们都会呈现经过多次这些问题全都没有约束条件。在表格中我们描述了这些问运行之后的平均值丫以及方差0。题。表格中同样给出了每个问题变量的个数,它们的界限即使当所有的解都收敛于占优前沿面,以上的收最优解以及原始最优前沿面。敛度量值也不能达到零。这个度量值只有当每个获得的解刚所冇的方法运行最多进行次函数评价。我们使用好落在所选择的解时才能达到零。虽然这个度量值能单独提进制编码的单点交又和按位变异以及实数编码供一些获得解的传播性信息,我们还定义了一个不同的度量的模拟二进制交叉()算子和多项式变异。交叉概率值来直接测量算法所得到解的扩展性。第二个度量值∧能测设为=,变异概率设为=/或/共中是实数编码量已获得解的扩展性能程度。这里我们更布望得到能够跨越决策变量的数目,是二进制编码的字串长度。对于实数编整个占优区域的解的集合。我们计算在已获得的非支码的,我们是使用分别设交叉以及变异算子为配解集合的两亼连续解间的欧氏距离。计算这些距离的平均且分布索引。在经过次迭代后得到的种值ˉ。其后,从获得的非攴配解集中,我们首先通过拟合一群(种群经过了精英保留杌制)被用来计算两个我们接下来条干行于真实占优前沿面的曲来计算末端解在目标空会讨论的性能评价指标。对于,我们设定深度值为,间。在然后,我们在用下面的度量值计算分布的不沟匀性。存档长度为。我们使用存档中经过次迭代得到的种群成员来计算性能评价指标。对于,我们设定种群大小为,外部种群大小为(这个比例是由开发者提出+团+∑|-d用来维持求精英解而需要的足够多的选择压力),所以种群的dr+d+(N-1)整体大小变为同样运行函数评价结束。对于,我们在最后一代中使用合成与外部种群的非支这里的参数是极值解与所获得的边界解的欧氏距离配解来计算性能度量指标。对,以及二进制编码如图所示。图中阐释了上述方程所提到的所有距离。参数我们设定决策变量长度为是所有距离的平均值,假设最优非攴忙能测量配前沿面有个解,这里就有间距。分母是当分子中全部在同一解处情况下的值。值得一提的是这并不是最坏与单目标优化不同,在多目标优化中有两个目的:)收可能解的传播情况。我们可以有一个情形,其中在中存在敛于占优集合;)维持占优集合解的多样性。P大的差异。在这种情形中,度量值可能比大。因此,上这丙个仨齐不能被一个性能评价标准充分测量。许多的性能述度量标准的最大值可能比大。但是,一个好的分布结果度量标准在文献中被提出。这里,我们定义了两会使得所有的距离等于并且使得=(当非支个性能度量标准并且他们可以非常直接地对经过多目标优化配解集合屮存在极值解)。因此对于分布最广泛最均匀的非攴得到的解集合进行评估。配解,∧的分子是,致使度量值也为。对于其它的分有第一个度量值丫测量了已知占优解集合的收敛程这个度量值的值会比大。对于有和确定值得两个分度。由于多目标优化算法会在一些己占优解集的问布,度量值△在极值解中会在对坏分布情况下取更高一点的题上测试,所以这个度量值得计算是可以实现的。然而找们值。鉴于上述多样性度量标淮能够用在任何非支配解集合中,认为,这样一个度量标准不能够被用于任何问题。首先,我包括非占优解集合。使月一种三角化技术或者们找到在目标空间中真实占优前沿面上的均匀间隔分图表法计算,上述步骤能够扩展到估计更高维的解的传布的的集合。对于通过算法获得的每-个解,我们都掺上。TABLE IIMEAN (FIRST ROWS) AND VARIANCE (SECOND ROWS)OF THE CONVERGENCE METRIC TAlgorithSCH FONPOLKUR ZDT1 ZDT2 ZDT3 ZDT4 ZDTNSGA-I0.003390.019310.0155530.289640.0334820.0723910.1145005130530296564Rea|-code」000010.000t0.0047500.0316g0794d0.124600013污NSGA-IC.002830.0257100170290.289510.000940.00082400434113.227636780679Einary-coded C.0000C10.000030.0001600.000427.307630.00166SPEA0003030125692|003781200456170019900139004751773402990221300-000300000000500000可00046.5725160004FAES00013130151263030864005732300320850126276002387208548160085469000.0090004310019800g网q63770001052723800066TABLE ILMEAN (FIRST ROWS)AND VARIANCE (SECOND ROWS )OF THE DIVERSITY METRIC AAlgorithmSCHFCNPOL KUR ZDT1 ZDT2 ZDT3 ZDT4 ZDT6NSGAZR0477899037805|04521504114770303070430776075400.702612066327Real-coded0004710003910023680099101876000210197000646480093NSGA-I04492650.395131050372144219504632920.435112057560604794750.64447Binary-coded0m26200131400456-0014041622024670507009410504SPEA10211007923520.9727830.852990745252.755480.6729380.794630.849389A6008475-06104100521053800406017PAES10632881.1625281.0200710798381297941.16594207899200.8704581.153052.0028080008945可0372|004391000782000105301013910009:6结果讨论表展示了使用实数编码进制编码以及四种算法所得到的收敛度量值的平均值以及方差(实数编码或二进制编码〕能够在除了以外所有问题上更好地收敛,其中在能更好收敛在所有情况中,十次运行的方差也是很小的,除了〈二进制编码)下的固定存档策略的在九个问题屮的两个能更好的收敛。PAES表展示了使用三个算法所获得的多样性度量标准Δ的平均值和方差。实教或二进制编码)在九个问题中都表现最好。NECA-I工LeSEunGo0o0-C表现性能最差是所得结果。为了进一步说明,我们在522.53图中展示十次运行结果的一个以及(实数编码)仅运行一次的结果图在问题上相比找到更好地扩展解在大多数问题中,实数编码相比其他任何算法包括二进制编码能够找到更好的扩展解。为了能够展示这些算法的成果,我们展示了NsGA-工工以及这些问题上经典仿真结果。问题的占优前活而有三段不连续的区域。图展示了实数编码)经过次迭代后得到的全部非攴配解。占优区域冋样在图中展示出来。图展示了获得的非支配解,在这些问题上它是仅次于最优解(参考表,表)接下来,在图,图中我们展示了问题的非支配解。这个问题有一个非凹面的占优前沿而。我们展示了这个问题上二进制编码的性能。尽管收敛性对毎个算法来说都不是难点,但是实数与二进制编码相对在这些问题上的次优算法)都能在整个12171615-14占优区域找到传播性能更好与更多的解。图在问题上实数编码)找到地非支配解1,10.B0.70.60.54U.3SPEA1219-1871151400.10.203040.50.60.70.80.9在问题上的非吏配解图在问题的非支配解18日Pareto=opt imal frunkp.9PAES1,60.80.0050.4080.36NSGA-工工U.10.200.1020.30.40.50.60.70,80,91D0.10.2030.40.50.60.70.8D.9(二进制编码)在问题上的非支配解相对在问题上能找到收敛性,扩履性更好的觚问题在搜索空间有或者不同的局置做出很多的尝试。但是在这个部分,我们进行附加实验从部占优前沿面,但是其中只有一个与全局占优而展示了一些不同参数设置对性能的影响。前沿面相关。决策空间中两个造续局部占优集合中的首先我们保持其它参数不变,但是将迭代次数增加到解的欧氏距离设为。图表明实数编码与次(不是原来的次)。表中展示了问题都陷入不同的局部占优集合中,但是的收敛的收敛性以及多样性度量值。现在我性以及找到多样性解的性更更优。二进制编码在收敛于们得到了十分收敛于真实占优前活面一个很好的分布全局占优前沿面上存在困难,这个问题在其它单目标鲒果。表格说明在所有的这些困难问题中,实数编码的硏究中乜被发现。能够收敛到非常接近真实前浯面,除了问题在一个相似十变量的函数中这里的西数,可能需要对进行较难的参数设置。特别地,研究明显表明对于日标二进制编码(带有锦标赛选择,和的结果随迭代次数增加而提高单点交叉和按位变异)至少需要种群大小为,模拟运行多问题有一些局部前沿面并且每个都与一个于才能找到全局最优解。由于我们巳銍设定种群大小为特定值相关。为了能够跳出局部最优需要对决策向量进,所以通过多目标优化找到全局占优解时不行大的改变。除非变异或者交叉操作算子能够生成出在另大可能的。但是能够找到具有很好传播性能的解即个更好区域的解,否则提高到真实前沿面的性能是不使在局部占优的情况下。由于在这个问趣上收可能的。我们使用带有较小的分布索引=的敛性很差(见表),我们就不再图中展示的结果。(实数编码)进行变异操作,,此操作有助于生成比以前分布最后,图表明找到了一个在问题上比其更妤地扩展解。其余参数的设置像以前一样硝定。问题它算法收敛性都要好的非攴配解。但是解的分布情况还是实上收敛度量标准丫和多样性度量标准Δ经过次迭代后的数编码找到的最好。值如下不同参数设置=0.0295440.002145本次研究中,我们并没有为找到更好地参数设2=0.49840902=0.0038521.8pareto- tima1￡xont1,6SPEA41.91,40,80,7Dec⊥si。nac告6.206。.40.4Pareto-optimal0.2F front020.2030.405D.60.7080.10.10.2·.30.405060.70809f 1图在问题实数编码相比能找到扩展性更好的解,图通过在问题上获得的非攴配解但是的收敛性更好解更加接近与真实前沿面。需要向占仇前沿面前进的表相互关联参数的更新致使这类问题解決起来变得相难。迭代次数升至500次收斂性与多样性度量值的平均值和方差的通过实数编码的交叉和变异操作的精英保留操作能够找到一些接近占优前活面的解其中=使得Convergence met:ic,IZDT4ZDT6这个问题的例子说明单目标优化问题中已知Mean001520254410018510000b2102765困难之一(连接问题)同样会给多目标优化问题带来Variance0.00100070302270.0534500015343困难。然而需要更多的系统硏究充分着力解决多目标优化中t:ie,△的连接问题。Mean0.46702204188896882180.400220.655896Variance00028600053000060002672|0032约束处理这些问题相对和要好得多,如图所示。在过去,第一作者和他的学生们应用了一个针对单目标为了说明收敛性和解的扩展性,我们在图中绘制了次问题的惩罚无参数约束处理方法。这些研究已经表明妇迭代后的一组非支配解。图说明能够以=找何将基于竞标赛选择的算法应月于种群方法的约欢处理,这前沿面上的解。种方法优于一些其它已经存在的约束处理方法。一个简单的方法可以被引进到上述的中,进而解救约束多目标旋转问题优化问题。在早期研究中讨论过,在决策变量中的相互作用会给推荐的约束处理方法(约束任何多彐祘优化算法包括带来更高层次的问题。在本节内容,我们竺成这样的一个问题并且调查先前三个这些约束处理方法使用二进制竞标赛冼择,即选择出种在下面强性问题上的运行过程。群中的两个解并且挑选出较好的解。在约柬存在的情况下每一个解不是可行解就是非可行解。因此,这里可能最多有minimize fi(y)=三种情况:)两个解都是可行的:)一个可行另一个不可minimize f2(y)=g(y exp(/g(y))行;)两个解都是不可行的。多于单目标优化,我们对每种gy)=1+10(m-1)情况使用一个简单规则。∑「G2-10∞x(4x)情况选择有更好目标函数值的解。情况选择可行解y=Rx情况选择整体上违反约束更小的解03≤x;<03,fort=l,2由于不存在约束和目标函数相比较的情况,所以没有必以决策向量运行,但是上述目标函数而是根据向量要拥有惩罚参数,惩罚参数能使得提出的约束处理方法更加定义,是通过固定於转短阵归转变决策向量而计算出有用且引人注目来的。这样,目标函教是决策向量线性结合的画教。为了维在多目标优化的环境中,后面两种情况可以这样使用持能在前沿面的解的扩展性以及收敛到任何特定的第一种情况就要像以前使用拥挤比较算子那样解决。为了保解,需要能够以一种特殊的方式进行决策变量更新。通持过一个遗传搜索算子,例如这里使用的变量位置操作,支配定义这对来说成为了一个艰难的任务。然而,在这里,我们定义:解如果是约来意义上的支配解,当且仅当下只对三个精英机制的整体行为评价感兴趣。面的条件是正确的。我们设置种群大小为并且运行每个算法次。对解是可行的,不是于,我们设置n=,为变异设n为了限制解和都是可行的,但是解有更小的整体约来违占优解处在所描述的变量边界,我们通过对两个目标背值。加入一个固定的较大的惩罚来防止解的|>。图展示解和都是可行的并且解支配解了使用经过次运代后得到的解。能使用这样的约束支配准则的影响是仨何可行解的非支配够观察到所得到的解相比所得到的排名都会比非可行解的排名好。所有可行解依据它们的基于表研究中的约束测试问题Problem71VariableObjectivcConstraintsCONSTR 2 1 E 0.1.1.0fi(x-3+9x1≥6x2∈0.5f(x)=(1+x,)/rSRN2x2∈1-20.20A(x)=(z1-22+(x2-1)2+23<225f2(x)=9x1-(x2-1)3∴2≤-10TNK0,f1(x)=x1≤02+(:2-(.5)2≤05NTFR3001≤1≤045(x)=10670372+13)+817016791x)=00139(x12)+.943-008<101s:2s010f(x×)=0092{x)=0.00030(x1:2)+10820.09s6<100159≤010/4(x)=0702091x)=:28307(x1x2)+49082f4(x)=(250)2289ex(-89.75x2+94(x)=208(x12)+8046333/(x1=2(1.39/(412)+4943-80)9x)=2.138/(x122)+783392705.1<1000006(x)=0.417(1:x2)+1721.26:3136.51<2000104/{x631.13所有目标函数都是求最小化目标函数值的非支配等级进行排名。然而,在两个非可行解法引进了很多不同操作,如何在更复杂的问题上执行,特别中,拥有更小约束违背值的解会有更好地排名。此外,非是有该方法有关的计算负担方面,它仍然需要进一步研究支配准则的修改不会改变的计算复杂度。在接下来的章节,我们选择四个问题并比较了简单的剩余步骤和先前描述的一样使用即可。的方法。因此,一个非可行解违背约束少量的情况下可能与另外一个较大程度上违背不同约束的解分到同一支配等级。这样可能会造成算法在非可行解空间徘徊更多此迭代在通过约束界限到达可行解区域。此外,由于的方法需要以约束违背值进行廴配检查,本文中捉出的方法计算复杂度更低,且更简单。的约束处理方法等人提出了一个更加详细的约束处理技术,其中所有约束的约束违背值并不是简单地相加。相反,同样需要进行约束這背的非攴配检杏。在这里我们给出了这个方法2步骤概括种不同非支配的种群排名第一次被运行。第一排名以目标函数执行并且将排名结果存储在维的向量中。0,1020.3040.50.6070809第二次排名仅仅以所有约束(它们的)的约束违背值士1而抆行并且没有使用任何目标函数信息。因此每个约束的约图通过在约束问题上获得的非支配解東违背被当做一个标准并且种群的非支配分类使用约束违背值执行。注意到对于一个可行解来说所有的约束违背都为。因此所有的可行解在中排名为。第三种排名是结合目标函数以及约束违背值而执行的共+个值。这会产生排名。即使目标函数值和约束违背值被一起使用,这个算法的好的一个方面是不需要任何惩罚参数。在支配检查中,标准单独进行比较的,因此排岀了使用惩罚参数的需要。旦排名结來,所有的在中有最好的排名的可行解被远择作为新的种群。如果需要更多的种群,它们就会系统地在剩余解中产生。通过强调中排名在选择算子中以及中排名在交叉算子中的重要性,研究者规定了一套系统的多目标它同样包括小生境保留算子。更多细节,读者可以参考。即使研究者没冇用他们的算法与其它算法进行比较,但01020.10.40.560.708.9是他们展示了这种约束处理方法在一些工程设计问题上的工作。然而,由于需要三种不同标准集合的非支配排序以及算图通过在约束问题上获得的非支配解l5001000501001200250图通过在约柬问题上获得的非支配解图通过在约束问题上获得的非支配解算法经过次迭代获得的解。明显可以看出,仿真结果执行结果比方法好就攻敛到戎们选择四个约朿測试问题(见表),它们在先前的研沿面以及维持种群非支配解多样性来说。究中被使用过。在第一个问题中,非约束前沿面的接下来,我们考虑测试问题如图展示了部分是非可行的。因此导致的约束占优区域是第一约经过次选代后的非支配解。图中展示了如何在束边界以及一些非约束占优区域的结合。第二个问题前沿面上引进随机解。方法同样能够在在研究中被使用过。这里的约束占优这个试问题上逼近前沿面集合是一些非约束占优集合的子集。第三个问题图和中展示了可行解空间以及通过首先被等人提出,它有非连续的占优区域,算法的到的非支配解。这里,占优区域完全落在第一个约東边界中。在下节,我们会展示以上每个问题的约東占优区域。第四个问题是一个五目标禾1.4七约束问题,在文献中有尝试解决。因为有五个目标,很难讨论约来在非约束区域的影响。在下一节,我们展12示了(或者十次成对的获得的非支解的图。在这里我们应用实数编码在所有的问题中,我们没置种群大小,分别设置实数08编码交义和变异算子的分布索引值为和运行带约束处理技术的实数编码)以及约束处0理算法最大次迭代。我们选择相对较大的选代次数来研究如果解的扩展性在大数目迭代下能够被维持。然而,在0.4这种情况下,我们在可能早的次选代中就获得了合理护0.2⊙展性好的解。交又和变异概率设置如前。图中展示了在经过次迭代后得到的个非支配解的集合。图中说明能够在两个占优区域均00.20.40.60.811.21.4匀地维持解。值得一提的是为了能够在约東边界维持解的扩E 1展性,解必须以-种特别灺方式依据约来函数进行修改。这对于每个搜索操作来说都成为了一个难点。图展示了使用图通过在约束问题上获得的非支配解1,41.2080.60.4U.20.202040.60.811.21.400.20.40.60.811.21,4图通过运用约束处理策略的在约束图通过在约柬问题上获得的非支配解问题上获得的非支配解
